UNIDAD # 2

ley de seno y coseno 

* ley de seno 

La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.  En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos.  La ley del Seno y la del coseno son muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo rectángulo como los discutidos en la sección de trigonometría básica.                                                                                                                                                               

Veamos el siguiente triángulo:

Podemos realizar el siguiente procedimiento:En ΔAMC  aplicamos el seno de A y obtenemos        y/b = sen A    despejamos para y, obtenemos                     ------>           y= b sen AEn ΔBMC   aplicamos el seno de B y obtenemos            y/a = sen B  despejamos para y, obtenemos                   ------->              y= a sen BIgualamos ambas expresiones y=y de forma que:      b sen A = a sen BEntonces:

La ley del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante. 

La ley del seno se escribirá como sigue:

Ejemplo #1

Encuentra la medida del ángulo c y del lado c para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:

    1.-Primero identificas los datos:

A=30°B=40°C=? 

    1.2.-Para obtener el ángulo c sabes que un triángulo tiene 180° por lo que vas a restar: 

180° - (40°+30°) = 110°

   1.3-Para calcular la medida del lado c vas a seguir el siguiente procedimiento: 

Identificas los datosA=30°C=110°a= 10mc=?

   1.3-Identificas la ecuación:

   1.4-Despejas para la desconocida y sustituyes los valores en la ecuación:

* ley de Coseno 

En ocasiones necesitamos resolver ejercicios en los que tenemos triángulos que no son rectángulos.  La Ley del seno y la del coseno se aplica para todos los triángulos.  Veamos el siguiente triángulo:

Dado un Δ supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b, así como la medida de c.  Podemos realizar el siguiente procedimiento para construir la ecuación:

ΔαMβ tiene lados: y, c , b-x

Usando el teorema de Pitágoras:                           c²   = y² + (b – x)²

= y² + b² – 2bx + x²

c²= (x² +y²) + b²– 2bx

ΔγMβ tiene lados:  x, y, a por lo tanto:                    a² = x² + y² 

entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:  c²= (a² ) + b²– 2bx 

Del ΔγMβ también podemos obtener que 

cos γ = x/a      t          x= a cos γ

sustituyendo:  c²= a² +b² – 2b(a cos γ)

La ecuación obtenida es la siguiente:

En resumen, si hicieramos el mismo procedimiento para cada una de las variables a y b obtendríamos las siguientes ecuaciones:

Ejemplo:

En el siguiente triángulo α= 60°, b= 3m y c=4m.  ¿Cuánto es a?  

   1.1.- Estrategia:

Los datos son:α = 60° b= 3m c = 4m a=?

   1.2- La ecuación a utilizar es:

   1.3- Reemplaza los valores en la ecuación como se demuestra a continuación:

 a²= b²  + c²– 2bc cos α
a²= (3m)²  + (4m)²– (2) (3m) (4m) cos 60°
a²= 9m²  + 16m² – (24m²) (0.8660)
a²= 25m² – (24m²) (0.5)  =
 a²= 25m² – 12m²a²= 13m²

  1.3- Ahora hay que buscar la raíz cuadrada usando la calculadora: 

 La respuesta es: la medida del lado a es 3.6m //